胶结砂砾石坝作为一种新兴坝型，具有环境友好、便于施工及低水化热等优势，被认为是具有广阔发展前景的坝型。世界上已建成或在建的胶结砂砾石坝工程已有多座，实践表明，胶结砂砾石兼具混凝土和砂砾石的性质，应力变形特性更为复杂^[1-2]。对于胶结砂砾石的静力力学特性，普遍认为其具有明显的应变软化和强剪胀性^[3-5]。但对胶结砂砾石料动力特性的研究尚未成熟，已有的动力本构方程难以适用胶结砂砾石料，且我国地震多发，大坝容易遭受地震破坏。因此，深入了解胶结砂砾石料作为筑坝材料时的动力特性十分必要^[6-9]。动力特性主要包括动模量和阻尼比两个参数，分别对应于滞回曲线的面积和斜率^[10-11]。已有试验结果^[12-13]表明，在散粒体中加入胶凝材料，可明显提高抗动力荷载的能力，同时对阻尼特性也有明显影响。傅华等^[14-16]研究了不同因素（围压、胶凝掺量、固结比及加载频率等）对胶结砂砾石料宏观动力力学特性（动强度、动模量和阻尼比）的影响，进一步洞悉了胶结砂砾石料的动力力学特性。然而目前并未有一个适用于胶结砂砾石料的动力本构方程， ZHANG等^[17]构建的动力损伤模型表述了胶结砂砾石料的损伤特性，但并未与动力学参数建立联系； 黄虎等^[18]建立的本构模型着重描述了胶结砂砾石料的阻尼行为，也未能全面反映胶结砂砾石料的力学特性。除此之外，胶结砂砾石料具有明显的损伤特性^[19]，但目前还没有考虑胶结砂砾石损伤的动力本构模型。本文开展了循环动力三轴试验，探究胶凝掺量和围压对胶结砂砾石料动力特性的影响。基于胶结砂砾石料的损伤特性建立动力本构模型，并推导刚度矩阵。利用三轴试验剪切数据来验证模型的准确性，并以某胶结砂砾石坝为例进一步探讨该本构模型的实用性和合理性。

1.   动三轴试验

为探究胶结掺量和围压对胶结砂砾石料动力特性的影响，开展大型动力三轴试验。分别制作胶凝掺量为40、60和80 kg/m³的试样，采用水泥强度等级为32.5的普通硅酸盐水泥（P.O.）作为胶凝材料，砂为细度模数为2.70的中粗砂，干密度为2.2 g/cm³，水灰比为1∶0.8。骨料采用南京市场出售的砂砾石，具体的颗粒级配见图1。最终的试样尺寸为直径300 mm、高700 mm。

图  1  骨料级配曲线

Figure  1.  Aggregate gradation curve

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为了获得大应变幅值范围内的应变相关剪切模量和阻尼比，对试样进行多级循环应力加载。如图2所示，开展动三轴试验时，轴向荷载以正弦波形式输出，正弦波的频率设置为0.3 Hz。试验围压共设置为4级，分别为300、600、900、1 200 kPa。按一定的比例设置循环应力幅值q_max，每个应力幅值加载3个正弦周期。每个加载阶段完成后，打开排水阀，使产生的超孔隙水压力消散。然后关闭排水阀，继续下一个循环加载阶段。

图  2  动荷载加载示

Figure  2.  Illustration of dynamic load application

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2.   动模量和阻尼比的变化规律

2.1   动模量和阻尼比求解

基于动力三轴试验，可得到轴向动应力σ_d和轴向动应变ε_d：

基于图3 (a)，结合上述两式，可求得动剪模量G：

图  3  动模量和阻尼比计算示意

Figure  3.  Schematic diagram of dynamic modulus and damping ratio calculation

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式中：τ_d和γ_d分别为动剪应力和动剪应变；ν为泊松比。

阻尼特性是岩土材料的另一重要动力特性，代表了动力加载过程中材料能量耗散的量级，通常由阻尼比λ来表示。如图3(b)所示，实际计算过程中，阻尼比λ的经验计算公式为：

式中：S_BCD 为滞回圈的面积，表示一个循环周期内损耗的能量；S_ΔABC则为一个周期内加载储存的总能量。

图4和图5为不同掺量、围压下动剪模量和阻尼比的演化规律。可见，胶凝掺量的增加会提高试样的胶结特性，这种特性提高了材料抵抗循环荷载的能力，提高了剪切模量。同时，胶凝材料的存在限制了骨料的摩擦、翻转，减小了能量耗散及循环荷载对胶结砂砾石的破坏作用。另一方面，围压的提高提升了平均应力，试样发生了挤密效应，进而提升了抵抗外力荷载的能量，而围压同样减缓了胶凝材料的破坏，限制了骨料的运动，进而阻止了能量的耗散。

图  4  围压对动力参数的影响

Figure  4.  Effect of confining pressure on dynamic parameters

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图  5  胶凝掺量对动力参数的影响

Figure  5.  Effect of cement content on dynamic parameters

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3.   胶结砂砾石料动力本构模型

3.1   本构模型推导

胶结砂砾石料是由胶结材料与砂砾石料拌合而成，具有明显的损伤特性^[19]。广义Kelvin模型是在Kelvin模型外部串联一个弹性元件组成，在此基础上建立的等效黏弹性本构模型在岩土工程的动力计算中应用广泛^[20]。为构建适用于胶结砂砾石料的本构模型，将胶结砂砾石料的损伤特性抽象为损伤体^[21-22]，并与广义Kelvin模型串联，进而构成动力损伤本构模型（图6），并推导得出计算所需的刚度矩阵。

图  6  黏弹性动力损伤本构模型

Figure  6.  Viscoelastic dynamic damage constitutive model

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串联时各部分元件应力相同且等于总应力，应变为各部分相加之和^[23]，即：

式中：ε_ij、$ \varepsilon _{ij}^{\rm e} $、$ \varepsilon _{ij}^{{\rm V}K} $和$ \varepsilon _{ij}^{{\rm V}D} $分别为总应变、弹性体应变、Kelvin体应变和损伤体应变；σ_ij、$ \sigma _{ij}^{\rm e} $、$ \sigma _{ij}^{{\rm V}K} $和$ \sigma _{ij}^{{\rm V}D} $分别为总应力、弹性体应力、Kelvin应力和损伤体应力。

采用三维元件参数 H、2G₁、2G₂、2G_d、S_ij、e_ij代替黏弹性损伤模型中的η、η_d、E₁、E₂、E_d，以及σ和ε，经Laplace变换并整理得^[24]：

式中：S_ij为偏应力张量；σ_mm为体积应力张量；ε_mm为体积应力张量；G₁和K₁分别为弹性体的剪切模量和体积模量；G₂和K₂分别为Kelvin体的剪切模量和体积模量；H_G和H_K分别为Kelvin体的剪切黏滞系数和体积黏滞系数；G_D和K_D分别为损伤体的剪切模量和体积模量；H_GD和H_KD分别损伤体的剪切黏滞系数和体积黏滞系数；δ_ij为Kronecker张量。式（7）为最终的动力本构方程，

若将弹性体的模量取到无穷大，则该元件失效。在实际计算中发现，当G₁=100G₂时，运算结果较为理想。损伤体与Kelvin体之间通过损伤变量建立如下关系：

因此，若要建立动力损伤本构模型，则需求解剪切模量G₂、体积模量K₂、剪切黏滞系数η_G及体积黏滞系数η_K。由动力三轴试验可得动剪模量G和阻尼比λ，进一步可求得G₂=G，K₂=K=2Gν/(1−2ν)，η_G=2Gλ/ω，η_K=2Kλ/ω。其中，ω为圆频率。

3.2   损伤变量求解

从损伤力学的角度来看，损伤变量是对材料受到外力作用后内部劣化过程的定量描述。如图7所示，胶结砂砾石料在动力荷载下的损伤可以看成能量的交互过程。

图  7  动力加载过程中的能量曲线

Figure  7.  Energy curves during dynamic loading

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加载时，试样吸收总能量U_t，卸载时耗散部分的能量为U_d，储存部分的能量为U_e。根据加载过程中胶结砂砾石料的耗能状态定义损伤变量D为：

式中：U_d(N)为N次循环加载后的总耗散能。对加载段曲线（σ_{d (ABC)}）积分，可得吸收的总能量；对卸载段曲线（σ_{d (CDE)}）积分，可得储存的弹性能；两者之差即为一个循环中所耗散的能量。

3.3   动剪模量和阻尼比的演化规律

计算每一级荷载下的损伤变量D，以及所对应的归一化动剪模量G/G_max，经整理和分析，认为G可由下式表达：

式中：G_max为最大动剪应变；k₁、n₁、k₂和n₂均为模型参数；p_a为大气压强；γ为等效动剪应变。

如图8所示，在不同胶结掺量下，归一化后的动剪切模量G/G_max离散性较低，而式（11）可准确描述G/G_max的演化规律，可见本文所提的动剪切模量的理论公式是合理的。

图  8  动剪模量的损伤演化规律

Figure  8.  Damage evolution of dynamic shear modulus

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同样地，阻尼比λ的演化规律同样可通过损伤描述，阻尼比λ可由下式表达：

式中：λ_max为最大阻尼比；k₃和n₃为模型参数。由图9可见，阻尼比的理论公式也具有较高的准确性。

图  9  阻尼比的损伤演化规律

Figure  9.  Damage evolution of damping ratio

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将式（8）~（15）代入式（7），即可求解得到胶结砂砾石材料的动力损伤本构模型。

3.4   本构模型验证

基于以上思路，胶结砂砾石料黏弹性损伤模型共有8个参数，分别为模型参数k₁和n₁，计算最大动剪切模量G_max的k₂和n₂，计算最大阻尼比λ_max的k₃和n₃，泊松比ν和圆频率ω。基于Fortran语言，将黏弹性动力损伤本构模型汇编为程序，并模拟动力三轴试验，本构模型的参数列于表1。图10和11为动力加载曲线的试验数据与模拟曲线，与试验曲线相比，模拟曲线对称程度更高，但从滞回曲线形状、包络面积和倾斜程度来看，模拟结果较好地预测了应力-应变关系，验证了本构模型的模拟精度。

表  1  损伤模型参数

Table  1.  Parameters of the damage model

胶凝掺量/（kg/m3）	k1	k2	k3	n1	n2	n3	ν	ω/(rad/s)
40	2.45	1367.24	0.182	0.976	0.324	0.276	0.324	5.34
60	4.48	1887.36	0.168	0.971	0.378	0.369	0.347	7.39
80	7.51	2136.28	0.153	0.967	0.394	0.425	0.366	8.89

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图  10  本构模型的验证（σ₃=300 kPa）

Figure  10.  Validation of the constitutive model (σ₃=300 kPa)

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图  11  本构模型的验证（σ₃=900 kPa）

Figure  11.  Validation of the constitutive model (σ₃=900 kPa)

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3.5   守口堡坝动力计算

选取山西守口堡胶结砂砾石坝进行动力分析，进一步验证所提的本构模型。大坝的典型剖面如图12(a)所示，坝体高61.6 m，上下游坝坡坡比均为1∶0.6，坝顶高程为1 243.60 m，坝底高程为1 182.00 m，正常蓄水位为 988.00 m。考虑三维实际地形的坝体与地基模型如图12(b)所示。几何模型坐标轴设定如下：X 轴正方向沿坝轴向从左岸指向右岸（顺河向），Y 轴正方向沿河流向从上游指向下游（横河向），Z轴正方向竖直向上。胶结砂砾石料、混凝土面板、基岩均采用三维实体单元模拟。

图  12  守口堡胶凝砂砾石坝计算示意（单位： m）

Figure  12.  Schematic diagram of Shoukoubu cemented sand and CSG dam calculation (unit: m)

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沈珠江提出的等效黏弹性模型在工程上的应用较为广泛，积累了大量的工程经验，本节中将等效黏弹性模型和本文动力模型计算结果作对比。本构模型参数如表2所示。

表  2  动力损伤模型参数

Table  2.  Parameters of the dynamic damage model

胶凝掺量/(kg/m3)	k1	k2	k3	n1	n2	n3	ν	ω
90	8.77	2731.54	0.147	0.954	0.406	0.411	0.369	9.62

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采用一致性地震动输入方法，为了避免基岩对输入地震动的放大，采用了无质量地基。地震动输入采用场地谱人工合成的 100 年超越概率 2%的地震波（简称“场地波”），地震时程曲线如图13所示。在顺河向、坝轴向和垂直向同时输入地震动，水平向地震峰值加速度为 0.276 g，坝轴线和垂直向地震峰值加速度分别取水平向的 2/3。地震历时为21.2 s。

图  13  地震时程曲线

Figure  13.  Seismic time history curve

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图14为坝体在遭遇地震后的损伤分布，结果表明：坝体的损伤发育基本呈轴对称分布，且在河谷中部附近范围为地震易损区，宜考虑重点加固；受水压力的影响，坝体的损伤更偏向于上游，坝体的整体损伤较空库期有所增加。研究成果直观展示了胶结砂砾石坝的地震破坏演化规律，精准定位了薄弱区域。

图  14  动力荷载下的坝体动力损伤分布

Figure  14.  Distribution of dynamic damage in the dam body under dynamic load

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如图15所示，对上下游坝坡及坝体内部特征点的损伤发展进行监测，结果表明：空库期，坝体内部损伤要高于上下游位置，且上下游的损伤程度较为接近；蓄水期时，损伤区域逐渐向上游迎水面扩散，且损伤程度明显增加；在地震波的峰值点位附近，坝体整体损伤有一个激增的过程，随后趋于平稳。

图  15  坝体不同区域的损伤发育

Figure  15.  Damage development in different regions of the dam body

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为了研究黏弹性模型和本文提出的损伤模型用于分析胶结砂砾石坝动力性状时存在的差异，在同等条件下重点分析2 种方法在加速度响应方面的差异。图16和17为黏弹性模型和本文模型计算的坝体顺河向、竖向加速度放大倍数分布。两种本构模型2种方法计算的速度放大倍数分布规律较为接近，且计算的竖直向放大倍数均大于顺河向。

图  16  顺河向加速度放大倍数分布

Figure  16.  Longitudinal acceleration amplification factor distribution

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图  17  竖向加速度放大倍数分布

Figure  17.  Vertical acceleration amplification factor distribution

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图18 为坝轴线加速度放大倍数沿高程的分布。本算例中，0.4H（H为坝高）范围内等效黏弹性模型计算的顺河向、竖向加速度放大倍数明显大于损伤模型的，而坝顶区域则是损伤模型计算的放大倍数明显大于等效黏弹性模型，其鞭梢效应更强。

图  18  加速度放大倍数沿高程分布

Figure  18.  Distribution of acceleration amplification factor along the elevation

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4.   结　语

本文开展了一系列三轴动力试验，研究了不同胶凝掺量和围压对胶结砂砾石料动力力学性能的影响。并建立了考虑损伤的动力本构模型。所得主要结论如下：

（1）滞回曲线的斜率和包络面积分别对应于动剪模量和阻尼比，胶结砂砾石料的动剪模量随着胶凝掺量和围压的增加而增大，阻尼比则随着胶凝掺量和围压的增大而减小。

（2）建立了适用于胶结砂砾石坝的动力本构模型，并推导得出了刚度矩阵。基于动力加载过程中的能量交互过程定义了损伤变量，并修正了动剪模量和阻尼比的演化规律。模拟结果可以很好地描述不同工况下的动力加载滞回曲线，验证了本构模型的合理性和有效性。

（3）选取山西守口堡胶结砂砾石坝进行动力计算，结果表明，蓄水期坝体的损伤程度高于空库期，空库状态下，坝体的损伤基本呈现对称分布。损伤模型计算得到的动力反应结果均高于黏弹性方法，偏于安全，因此宜采用本文提出的损伤本构模型进行抗震分析。